The Unit Circle Song
The Unit Circle Song

Trong lí thuyết số phức , ta đã biết $i^2=-1$, vậy căn bậc hai của $i$ bằng mấy? Ta xét bài toán sau: Bài toán: Tìm căn bậc hai của $i$. …

Trong lí thuyết số phức, ta đã biết $i^2=-1$, vậy căn bậc hai của $i$ bằng mấy? Ta xét bài toán sau:
Cách 2. Viết $i=\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}.$
Dùng dạng lượng giác của căn bậc hai, suy ra $i$ có hai căn bậc hai là:
$\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i,$
Cách 3. (Vương Văn Huân)
Ta có:
$i=\frac{1}{2}+i-\frac{1}{2}\\
=(\frac{1}{\sqrt{2}})^2+2.\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{1}{\sqrt{2}}i+(\frac{1}{\sqrt{2}}i)^2\\
=(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i)^2.$
Đẳng thức này chứng tỏ $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i \ $ là một căn bậc hai của $i$, và $-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i \ $ cũng vậy.

Bài toán: Tìm căn bậc hai của $i$.
Cách 1. Gọi $a+bi \ (a,b \in \mathbb{R})$ là căn bậc hai của $i.$
Theo định nghĩa căn bậc hai của số phức ta có:
$i=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi $
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a^2 – b^2 = 0 \\ 2ab = 1 \\ \end{array} \right.$
Giải hệ này ta được $ \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ b = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right. \ \ \vee \ \left\{ \begin{array}{l} a =- \frac{1}{\sqrt{2}} \\ b =- \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right. $
Vậy $i$ có hai căn bậc hai là $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i, -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i.$

Cách 1. Gọi $a+bi \ (a,b \in \mathbb{R})$ là căn bậc hai của $i.$

Theo định nghĩa căn bậc hai của số phức ta có:

$i=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a^2 – b^2 = 0 \\ 2ab = 1 \\ \end{array} \right.$

Giải hệ này ta được $ \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ b = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right. \ \ \vee \ \left\{ \begin{array}{l} a =- \frac{1}{\sqrt{2}} \\ b =- \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right. $

Vậy $i$ có hai căn bậc hai là $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i, -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i.$

Cách 2. Viết $i=\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}.$

Dùng dạng lượng giác của căn bậc hai, suy ra $i$ có hai căn bậc hai là:

$\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i,$


$-(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4})=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i.$

$-(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4})=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i.$

Cách 3. (Vương Văn Huân)

Ta có:

$i=\frac{1}{2}+i-\frac{1}{2}\\

=(\frac{1}{\sqrt{2}})^2+2.\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{1}{\sqrt{2}}i+(\frac{1}{\sqrt{2}}i)^2\\

=(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i)^2.$

Đẳng thức này chứng tỏ $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i \ $ là một căn bậc hai của $i$, và $-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i \ $ cũng vậy.

Biểu diễn các căn bậc 2 của i trên mặt phẳng phức:

Người đăng: Mr. Math.

Xem thêm: Căn bậc ba của $i$? (ví dụ cuối bài).

You are watching: Căn bậc hai của i bằng mấy? sqrt(i). Info created by Bút Chì Xanh selection and synthesis along with other related topics.